Elemento tetraédrico lineal: resolución matricial paso a paso

1Datos

2Geometría y conectividad

Coordenadas deducidas de las llamadas a TetrahedronElementStiffness del libro.

El volumen se obtiene con la ec. (15.2), 6V = det[1 x y z]. Los cinco salen positivos, así que el orden i-j-m-n de la Tabla 15.1 es válido. El elemento 5 es el tetraedro central y tiene el doble de volumen que los de esquina; la suma da el volumen del prisma, 0.003125 m³ = 0.025 × 0.5 × 0.25.

3Vector de cargas

Fuerza total: F = w · A = 3000 × (0.25 × 0.025) = 18.75 kN en dirección +y.

La cara cargada (nodos 3, 4, 7, 8) queda dividida en dos triángulos por la diagonal 4-7: el triángulo 3-4-7 pertenece al elemento 2 y el triángulo 4-7-8 al elemento 4. Para una tracción uniforme sobre un triángulo lineal, la carga nodal consistente es un tercio de la fuerza del triángulo en cada vértice:

Es la razón 1 : 2 : 2 : 1 del libro. El texto dice que la carga se reparte «equitativamente»; lo correcto es esta distribución consistente.

4Elemento 1 desarrollado (nodos 1-2-4-6)

4.1 Volumen, ec. (15.2)

Se arma la matriz con una columna de unos y las coordenadas de los nodos i, j, m, n (en ese orden):

4.2 Coeficientes β, γ, δ, ecs. (15.6) a (15.8)

Cada coeficiente es el determinante de la matriz 3×3 que queda al quitar la fila del nodo en cuestión, con el signo alterno del libro: β y δ empiezan en negativo (−, +, −, +) y γ empieza en positivo (+, −, +, −). Se cumplen β = 6V·∂N/∂x, γ = 6V·∂N/∂y y δ = 6V·∂N/∂z.

4.3 Matriz de deformación [B], ec. (15.3)

Para cada nodo a se arma el bloque 6×3 [β_a 0 0; 0 γ_a 0; 0 0 δ_a; γ_a β_a 0; 0 δ_a γ_a; δ_a 0 β_a] y se divide todo por 6V. Las filas corresponden a ε_x, ε_y, ε_z, γ_xy, γ_yz, γ_zx; las columnas, a los 12 GDL locales.

[B] = (1/6V) × [B₁ B₂ B₃ B₄], en m⁻¹:

[B] es constante dentro del elemento: por eso deformación y esfuerzo son uniformes en cada tetraedro.

4.4 Matriz constitutiva [D], ec. (15.9)

E/[(1+ν)(1−2ν)] = 2.1×10⁸ / (1.3 × 0.4) = 4.0385×10⁸ kN/m². En kN/m²:

4.5 Matriz de rigidez del elemento, ec. (15.1)

No hace falta integración numérica: el integrando es constante y la integral sobre el volumen es solo el producto por V. Las filas y columnas se rotulan con el GDL global al que van en el ensamble.

Coincide con la salida k1 del libro (factor 10⁸). Es simétrica y su suma por filas en cada dirección es cero (movimiento de cuerpo rígido sin fuerza).

5Elementos 2 a 5

Se repite el procedimiento del paso 4. Abajo, los coeficientes de cada elemento y su matriz de rigidez rotulada con los GDL globales.

6Ensamble de la matriz global K

Cada término k_pq del elemento se suma en K en la posición (G_p, G_q), donde G es el vector de GDL globales del elemento (es lo que hace TetrahedronAssemble, término a término):

K es simétrica y singular hasta que se imponen los apoyos.

7Condiciones de borde y partición

Se ordena la ecuación [K]{U} = {F} separando GDL libres (f) y restringidos (s):

Restringidos (U_s = 0): GDL 1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18 (nodos 1, 2, 5, 6).
Libres: GDL 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 20, 21, 22, 23, 24 (nodos 3, 4, 7, 8), es decir filas y columnas 7 a 12 y 19 a 24.

Como U_s = 0, el sistema a resolver se reduce a K_ff U_f = F_f:

[K_ff] (12×12, kN/m):

{F_f} (kN):

8Desplazamientos

en metros.

9Reacciones

en kN.

Las reacciones en y equilibran la carga de 18.75 kN. Las componentes x y z existen porque el empotramiento impide la contracción de Poisson; se anulan entre nodos.

10Esfuerzos por elemento

Para cada elemento se extrae su vector de desplazamientos {u_e} (12×1) de U con su vector G, y se aplica la ec. (15.11):

Esfuerzos en kPa. El valor exacto de σ_y en una placa traccionada es w = 3000 kPa.

En los elementos 1 y 3, σ_x = σ_z = 1472.8 kPa, que es exactamente ν/(1−ν)·σ_y = 1472.8 kPa. Esos elementos tienen tres de sus cuatro nodos sobre la cara empotrada, de modo que ε_x = ε_z = 0: el esfuerzo lateral lo crea el apoyo, no la carga. En una placa delgada libre lateralmente sería casi cero.

11Esfuerzos principales

Los esfuerzos principales son las raíces de la ecuación característica del tensor de esfuerzos:

TetrahedronElementPStresses del libro devuelve solo I₁, I₂, I₃ y no resuelve la cúbica; por eso reporta valores como 7.45×10⁹ (que es I₃, en kPa³). Aquí se resuelve la cúbica (autovalores del tensor):

σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃, en kPa. Corrección en MATLAB: y = sort(eig(ms3),'descend');

12Observaciones

• Reproducibilidad. K, U, reacciones y {σ} coinciden con las salidas MATLAB del libro.
• Unidades del desplazamiento. Son 6.08×10⁻⁶ m, no 0.6082 m. El «≈ 0.7 m» de los capítulos 11 a 14 es ≈ 7×10⁻⁶ m.
• Esfuerzos «principales». La función del libro entrega invariantes; los principales reales están en el paso 11.
• Calidad del modelo. Cinco elementos solo ilustran: el desplazamiento queda 15 % por debajo de la solución de barra y σ_y varía entre −8 % y +15 %. Para resultados confiables hace falta refinar la malla o usar el tetraedro cuadrático de 10 nodos.
• Condición de apoyo. Empotrar la cara completa genera esfuerzos laterales espurios. Apoyos tipo rodillo (solo u_y = 0, más los mínimos para evitar movimiento de cuerpo rígido) reproducen mejor la placa traccionada.

Página generada por un script en Python con NumPy; cada número sale del cálculo y los cofactores se verificaron contra la inversa de la matriz de coordenadas.

13La misma placa con 100 tetraedros

Se repite el problema con una malla estructurada: la placa se divide en 1 × 10 × 2 celdas (espesor × largo × alto) y cada celda en 5 tetraedros con el patrón del libro, alternando su orientación entre celdas vecinas para que las caras coincidan. Mismos apoyos (cara y = 0 empotrada) y misma carga consistente. La matriz global pasa de 24×24 a 198×198; el procedimiento matricial es idéntico al de los pasos 4 a 10, solo que con 100 matrices k de 12×12.

u_y: promedio de los nodos de la cara cargada. En todas las mallas la suma de reacciones en y es −18.75 kN y el volumen total es 3.125×10⁻³ m³. La fila de 5 tetraedros reproduce el libro.

• Con 100 elementos el error del desplazamiento baja de 15 % a 2 %. La rigidez excesiva de la malla de 5 era, sobre todo, falta de refinamiento.
• El desplazamiento converge a ≈ 7.09×10⁻⁶ m, no a 7.143. La diferencia de 0.8 % es física: el empotramiento impide la contracción de Poisson junto al apoyo y rigidiza esa zona. La fórmula de barra no lo considera.
• El promedio de σ_y ponderado por volumen es 3000 kPa en todas las mallas (equilibrio). El máximo crece al refinar porque en las aristas donde la cara empotrada toca las caras libres hay una concentración de esfuerzos teóricamente singular: refinar ahí no converge, y ese pico no debe leerse como esfuerzo de diseño.

14Diagramas: esfuerzo y deformada, 5 frente a 100 tetraedros

Las figuras muestran la cara frontal de la placa (x = 0) vista en el plano y–z, con el apoyo empotrado a la izquierda. La forma deformada está amplificada 5000 veces, porque el desplazamiento real es de unos 7 milésimos de milímetro; la línea discontinua es la placa sin deformar. Las dos mallas usan la misma escala de color para que la comparación sea directa.

Sobre «4 tetraedros». Un prisma rectangular no se puede llenar con 4 tetraedros: el mínimo es 5, que es la malla del libro. Por eso la comparación es 5 frente a 100.

14.1 Esfuerzo σ_y por elemento

Con 5 elementos solo se ven dos tetraedros en esta cara (los elementos 2 y 3): uno a 3437 kPa y otro a 2769 kPa, cuando el valor exacto es 3000 en toda la placa. Con 100 elementos casi toda la placa queda entre 2950 y 3030 kPa; los únicos elementos que se apartan son los pegados al empotramiento, donde está la perturbación real del apoyo.

14.2 Desplazamiento u_y

El desplazamiento crece del apoyo (0) al extremo cargado. La malla de 5 llega a 6.08×10⁻⁶ m; la de 100, a 7.00×10⁻⁶ m, mucho más cerca de los ≈ 7.09×10⁻⁶ m a los que converge la solución. En la malla fina se nota además que, junto al apoyo, el empotramiento impide la contracción de Poisson.

14.3 σ_y de cada elemento según su distancia al apoyo

Los 5 elementos del libro aparecen como tres puntos, porque los elementos 1 y 3 (3437 kPa) y los elementos 2 y 4 comparten casi la misma posición. Con 100 elementos el esfuerzo se dispersa solo cerca del apoyo y, desde y ≈ 0.1 m, se ciñe a 3000 kPa con alrededor de 1 % de error.

Al refinar, el rango de σ_y no se angosta: el máximo sube de 3437 a 3571 kPa. Ese máximo está en la arista del empotramiento, donde la solución exacta es singular. Lo que mejora con la malla es el campo lejos del apoyo y el desplazamiento.